Question

10．数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=λ，且当n为奇数时，a_n+1=a_n+2，当n为偶数时，a_n+1=S_n．若b_n=a_2n-1+1，判断数列{b_n}是否为等比数列，若是，求该数列的前n项和．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系构造等比数列{a_2n+1+1}，结合等比数列的定义和性质进行求解即可．

解答 解：∵a₁=λ，∴a₂=a₁+2=λ+2，
则a_2n=a_2n-1+1=a_2n-1+2，
a_2n+2=a_2n+1+2，
a_2n+1=S_2n，
a₃=S₂=a₁+a₂=2λ+2，
a_2n+3=S_2n+2，
∴a_2n+3-a_2n+1=S_2n+2-S_2n=a_2n+2+a_2n+1，
即a_2n+3=a_2n+2+2a_2n+1=a_2n+1+2+2a_2n+1=3a_2n+1+2，
即a_2n+3+1=3（a_2n+1+1），
即{a_2n+1+1}是首项为a₃+1=2λ+3，公比为3的等比数列．
即b_n+1=（2λ+3）3^n-1，
b₂=a₃+1=2λ+3，
b₁=a₁+1=1+λ，
只有当a₃+1=3（a₁+1），
即2λ+3=3（λ+1）时，
即λ=0时，数列{b_n}是才是等比数列．

点评 本题主要考查数列的递推关系的应用，构造等比数列是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．