Question

5．已知椭圆x²+3y²=9的左焦点为F₁，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点D是线段PF₁的中点，则△F₁OD的周长为（　　）

• A． 1+$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． 3+$\sqrt{6}$
• C． 3+2$\sqrt{3}$
• D． 6+2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由椭圆的方程求出a、b、c，画出图形，利用椭圆的性质以及椭圆的定义，求解即可．

解答 解：椭圆x²+3y²=9的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
可得a=3，b=$\sqrt{3}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$．
由题意可知如图：
连结PF₂，点D是线段PF₁的中点，可得OD为△PF₁F₂的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$PF₂，
由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|DF₁|+|DO|=a=3．
△F₁OD的周长为：a+c=3+$\sqrt{6}$．
故选：B．

点评 本题主要考查椭圆的定义的应用，根据中位线的性质是解决本题的关键．