Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点为F₁、F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}，{K_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{1}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：△OAB的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，得到A，B的横坐标的乘积再由y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把△OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得
$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}c$，
又2a=|AF₁|+|AF₂|=$4\sqrt{2}$，
∴a=$2\sqrt{2}$，c=2，
∴b²=4，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}=-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=${k}^{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+km\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}$
=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-（m²-4）=m²-8k²，即4k²+2=m²，
设原点到直线AB的距离为d，
则${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{2}-{x}_{1}|$$•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{16（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}$=$2\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}=2\sqrt{2}$，
∴当直线斜率不存在时，有A（$2，\sqrt{2}$），B（$2，-\sqrt{2}$），d=2，
S_△OAB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
即△OAB的面积为定值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．