Question

5．已知通项公式a_n=2n²，n∈N⁺，求证：对一切正数n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{3}{2}$．当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（{n}^{2}-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可证明．

解答 证明：当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{3}{2}$．
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（{n}^{2}-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$＜1＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．