Question

14．在△ABC中，B=45°，AC=$\sqrt{10}$，cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 如图所示，过A作AD⊥BC，可得出三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，在直角三角形ADC中，由cosC的值求出sinC的值，利用正弦定理求出AD的长，进而利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长．

解答 解：如图所示，过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，B=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，
在Rt△ADC中，cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，即AD=$\frac{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$=$\sqrt{2}$，
利用勾股定理得：DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则BC=BD+DC=AD+DC=3$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．