Question

9．设函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx，a∈R，且a≠1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0
（1）求b的值；
（2）若x∈[1，+∞），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，结合已知切线方程，解方程可得b=1；
（2）求出f（x）的导数，并分解因式，对a讨论，当a$≤\frac{1}{2}$时，当a＞1时，当$\frac{1}{2}＜$a＜1时，判断导数的符号和单调性，得到极值和最值．

解答 解：（1）函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx，a∈R，且a≠1，
导数f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-b，
由在点（1，f（1））处的切线的斜率为0，
则a+1-a-b=0，解得b=1；
（2）函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，a∈R，且a≠1，
导数f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$），
当a$≤\frac{1}{2}$时，$\frac{a}{1-a}$≤1，1-a＞0，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上递增，
即有f（x）的最小值为f（1）=$\frac{-1-a}{2}$；
当a＞1时，$\frac{a}{1-a}$＜1，1-a＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上递减，
f（1）取得最大值f（1），没有最小值；
当$\frac{1}{2}＜$a＜1时，$\frac{a}{1-a}$＞1，1-a＞0，当x＞$\frac{a}{1-a}$时，f′（x）≥0，f（x）递增，
当1＜x＜$\frac{a}{1-a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=$\frac{a}{1-a}$处f（x）取得最小值，且为aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}-2a}{1-a}$．
综上可得，当a$≤\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为$\frac{-1-a}{2}$；
当a＞1时，f（x）没有最小值；
当$\frac{1}{2}＜$a＜1时，f（x）的最小值为aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}-2a}{1-a}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和最值求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．