Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 联立直线方程和双曲线方程，解得交点的横坐标，得到a，b，c的方程，结合c²=a²+b²，和e=$\frac{c}{a}$，化简整理，计算即可得到离心率．

解答 解：由y=2x代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
可得x=±$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}$，
由题意可得c=$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}$，
由c²=a²+b²，
化简整理可得c⁴-6a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去）
即有e=1+$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查联立方程求交点的方法，属于中档题．