Question

9．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 先确定双曲线的渐近线斜率2＜$\frac{b}{a}$＜3，再根据$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，即可求得双曲线离心率的取值范围．

解答 解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜$\frac{b}{a}$＜3，
∵$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{5}$＜e＜$\sqrt{10}$，
∴双曲线离心率的取值范围为（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
故答案为：（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，属于中档题