Question

19．已知数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂+a₃+…+a₁₀=144．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，设S_n是数列{b_n}的前n项和，若n≥3时，有S_n≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质得出a₆=16，a₆-a₁=5d=15，运用通项公式得出通项a_n；
（2）求解数列{b_n}的通项b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，运用裂项的方法得出S_n=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$-\frac{1}{10}$+…$+\frac{1}{3n-2}$$-\frac{1}{3n+1}$）正负抵消即可，
S_n=$\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3+\frac{1}{n}}$，根据单调性得出只需m≤S₃时，求解即可得出m的最大值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂+a₃+…+a₁₀=144．
∴9a₆=144，a₆=16，
∵a₆-a₁=5d=15，d=3，
∴数列{a_n}的通项a_n=3n-2，
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，
∴数列{b_n}的通项b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）
∴S_n=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$-\frac{1}{10}$+…$+\frac{1}{3n-2}$$-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}×$（1$-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}×$$\frac{3n}{3n+1}$=$\frac{n}{3n+1}$，
∵S_n=$\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3+\frac{1}{n}}$，S₃=$\frac{3}{10}$，
∴根据函数性得出S_n是关于n的增函数，
∵若n≥3时，有S_n≥m恒成立，
∴只需m≤S₃时，
即m的最大值为$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查了运用方程组的方法求解数列的通项公式，运用裂项的方法求解数列的和，关键是裂开通项公式，难度不大，数中档题．