Question

10．若椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F₁、F₂是它的左、右焦点，椭圆C过点（0，1），且离心率为e=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上任一点，直线PA、PB分别交直线l于G、H两点，求$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$的值；
（3）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与y轴交于R点$\overrightarrow{RM}=λ\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}=μ\overrightarrow{NQ}$．证明：λ+μ为定值．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系求出a，b即可求椭圆的方程；
（2）设出P，G，H的坐标，利用向量的数量积的定义即可求$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$的值；
（3）利用直线和椭圆相交以及向量的共线关系建立方程关系即可证明λ+μ为定值．

解答 解：（1）椭圆的离心率为e=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，则c=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$a，
∵椭圆C过点（0，1），∴$\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
即b²=1，则c²=a²-b²，
即$\frac{8}{9}{a}^{2}$=a²-1，解得a²=9，
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）由椭圆的方程得A（-3，0），B（3，0），
设p（x₀，y₀），G（4，m），H（4，n），
∵A，P，G三点共线，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0+3}}=\frac{m}{7}$，即m=$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$，同理n=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
即$G（4，\frac{{7{y_0}}}{{{x_0}+3}}）$，$H（4，\frac{y_0}{{{x_0}-3}}）$，
则$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$=$\frac{65}{9}$．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，t）
由$\overrightarrow{RM}=λ\overrightarrow{MQ}$得（x₁，y₁-t）=λ（1-x₁，-y₁）
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{λ}{1+λ}\\{y_1}=\frac{t}{1+λ}\end{array}\right.$（λ≠-1）代入椭圆方程得λ²+9t²=9（1+λ）²①
同理由$\overrightarrow{RN}=μ\overrightarrow{NQ}$得μ²+9t²=9（1+μ）²②
由①-②得$λ+μ=-\frac{9}{4}$

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆相交的位置关系考查向量的数量积的运算以及三点共线的应用，综合考查学生的运算和推理能力．