Question

5．已知直线l：y=x+t与椭圆C：x²+2y²=2交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
（Ⅱ）若|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出椭圆的标准方程，即可求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程转化为一元二次方程，结合弦长公式进行求解即可．

解答 解：（ I）因为x²+2y²=2，
所以$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以$a=\sqrt{2}，b=1$，所以c=1，
所以长轴为$2a=2\sqrt{2}$，焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（ II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因为$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}-2=0\\ y=x+t\end{array}\right.$，消元化简得3x²+4tx+2t²-2=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}△=16{t^2}-12（2{t^2}-2）=24-8{t^2}＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-2}}{3}\end{array}\right.$，
所以 $|AB|=\sqrt{1+{1^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{24-8{t^2}}$，
又因为$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
所以 $\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{24-8{t^2}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，解得t=±1．

点评 本题主要考查椭圆方程的应用和性质，以及直线和椭圆相交的弦长公式的应用，转化一元二次方程是解决本题的关键．