Question

14．已知抛物线C的方程y²=-8x，设过点N（2，0）的直线l的斜率为k，且与抛物线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，则Q点横坐标的取值范围是（-∞，-6）．

Answer 1

分析 由题意得ST的方程为y=k（x-2）（显然k≠0），与y²=-8x联立消元得ky²+8y+16k=0，利用韦达定理，求出线段ST的中点B的坐标，可得线段ST的垂直平分线方程，令y=0，得点Q的横坐标，可得Q点横坐标的取值范围．

解答 解：设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由题意得ST的方程为y=k（x-2）（显然k≠0），
与y²=-8x联立消元得ky²+8y+16k=0，
则有y₁+y₂=-$\frac{8}{k}$，y₁y₂=16．
因为直线l交抛物线C于两点，
则△=64-64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，则-$\frac{8}{k}$＞0，
故-1＜k＜0，
可求得线段ST的中点B的坐标为（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$）
所以线段ST的垂直平分线方程为y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2），
令y=0，得点Q的横坐标为x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6，
所以Q点横坐标的取值范围为（-∞，-6）．
故答案为：（-∞，-6）．

点评 本题考查Q点横坐标的取值范围，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．