Question

7．已知离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线x=2相交于P，Q两点（点P在x轴上方），且|PQ|=2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ=∠BPQ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆的离心率，设椭圆方程，利用点在椭圆，求出b²，然后求出椭圆方程．
（Ⅱ）通过∠APQ=∠BPQ，推出k_PA=-k_PB．设直线PA的斜率为k，得到直线PA：y-1=k（x-2）（k≠0）．与椭圆联立，求出A、B坐标，设四边形APBQ面积为S，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值，也可以利用函数的导数求解面积的范围．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{4b}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）
由题意可知点P（2，1）在椭圆上，
所以$\frac{4}{{4b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$．解得b²=2．
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$． …（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．
因为∠APQ=∠BPQ，所以k_PA=-k_PB．
设直线PA的斜率为k，则直线PA：y-1=k（x-2）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+4{y}^{2}=8\\ y-1=k（x-2）\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+16k²-16k-4=0…（1）．
依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．
即△=64k²（1-2k）²-4（1+4k²）（16k²-16k-4）＞0，
化简得16（2k+1）²＞0，解得k$≠-\frac{1}{2}$．
因为2是方程（1）的一个解，所以2x_A=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$．
所以x_A=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
当方程（1）根的判别式△=0时，k=$-\frac{1}{2}$，此时直线PA与椭圆相切．

由题意，可知直线PB的方程为y-1=-k（x-2）．
同理，易得x_B=$\frac{8（-{k）}^{2}-8（-k）-2}{1+4{（-k）}^{2}}$=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ=∠BPQ，
且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足|t|$＞\frac{1}{2}$．
设四边形APBQ面积为S，则
${S}_{△APQ}+{S}_{△BPQ}=\frac{1}{2}\left|PQ\right||2-{x}_{A}|$$+\frac{1}{2}\left|PQ\right||{x}_{B}-2|$
=$\frac{1}{2}\left|PQ\right||{x}_{B}-{x}_{A}|$=$|\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}|$=$\left|\frac{16k}{1+4{k}^{2}}\right|$
由于|t|$＞\frac{1}{2}$，
故S=$\frac{16\left|k\right|}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|}$
当|t|$＞\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|＞4$，可得$0＜\frac{16}{\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|}＜4$，即0＜S＜4．
（此处另解：设t=|k|，讨论函数f（t）=$\frac{1}{t}+4t$在t∈$（\frac{1}{2}，+∞）$时的取值范围．
f′（t）=4-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{4{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，则当t$＞\frac{1}{2}$时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．
则当t$＞\frac{1}{2}$时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．
所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不等式以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．