Question

16．已知函数f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当a=1时，存在唯一一条过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0），f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．（ax＞0）．
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对a分类讨论：当x∈（0，a）时，当x∈（a，+∞）时，利用导数与函数单调性的关系即可得出单调性．
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0）．对a分类讨论：当x∈（a，0）时，当x∈（-∞，a）时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．
（II）当a=1时，假设存在唯一一条过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切．f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，切点为T$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}）$．切线方程为：y+1=$\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}^{2}}$（x-1），把切点T代入可化为lnx₀+$\frac{3}{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$-1=0，设g（x）=lnx+$\frac{3}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$-1，（x＞0），只要证明有唯一零点即可．

解答 （1）解：函数f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0），f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．（ax＞0）．
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a）上单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，a）上单调递增．
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0）．
当x∈（a，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，a）上单调递增；
当x∈（-∞，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a）上单调递减．
（II）证明：当a=1时，假设存在唯一一条过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切．
f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，切点为T$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}）$．
切线方程为：y+1=$\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}^{2}}$（x-1），
把切点T代入可得；$ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$+1=$\frac{{（x}_{0}-1）^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，化为lnx₀+$\frac{3}{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$-1=0，（*）
设g（x）=lnx+$\frac{3}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$-1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{3}}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{3}}$．
∵x＞0，∴函数g（x）在区间（0，1）与（2，+∞）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，
∴g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+$\frac{1}{4}$＞0．
又$g（\frac{1}{4}）$=$ln\frac{1}{4}$+12-16-1=-ln4-5＜0，由g（x）在（0，1）上单调递增，
可知：g（x）=0，仅在$（\frac{1}{4}，1）$内有且仅有一个实数根，方程（*）有且仅有一解，
因此存在唯一一条过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．