Question

9．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，且∠AOB=90°，又$\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$且OP⊥AB，则t=$\frac{9}{25}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$且OP⊥AB可得[（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$]•$\overrightarrow{OB}$=[（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$]•$\overrightarrow{OA}$．再根据得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，可得t${\overrightarrow{OB}}^{2}$=（1-t）${\overrightarrow{OA}}^{2}$，由此求得t的值．

解答 解：由 $\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$，∴A、P、B三点共线．
由OP⊥AB，可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，∴$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=0，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$，即[（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$]•$\overrightarrow{OB}$=[（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$]•$\overrightarrow{OA}$．
再根据∠AOB=90°，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴t${\overrightarrow{OB}}^{2}$=（1-t）${\overrightarrow{OA}}^{2}$，∴16t=9（1-t），求得t=$\frac{9}{25}$，
故答案为：$\frac{9}{25}$．

点评 本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．