Question

1．已知x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z
（1）证明：2xy=2yx+xz
（2）能否确定3x，4y与6z的大小？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z=k＞0，可得$x=\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{2lg2}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．代入分别计算即可得出；
（2）由（1）可得3x=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4y=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，6z=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，由于lgk＞0，$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$$＞\root{6}{6}$＞1，即可得出大小关系．

解答 （1）证明：∵x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z=k＞1，
∴$x=\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{2lg2}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．
∴2xy=2×$\frac{l{g}^{2}k}{2lg2lg3}$=$\frac{l{g}^{2}k}{lg2lg3}$，2yz+xz=$2×\frac{l{g}^{2}k}{2lg2lg6}+\frac{l{g}^{2}k}{lg3lg6}$=$\frac{l{g}^{2}k（lg3+lg2）}{lg2lg3lg6}$=$\frac{l{g}^{2}k}{lg2lg3}$，
∴2xy=2yx+xz．
（2）解：可得：3x＜4y＜6z．
下面给出证明：
由（1）可得3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4y=$\frac{2lgk}{lg2}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，6z=$\frac{6lgk}{lg6}$=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
∵lgk＞0，$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$$＞\root{6}{6}$＞1，
∴$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$＜$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$＜$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
∴3x＜4y＜6z．

点评 本题考查了对数与指数的运算性质、对数换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．