Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，直线l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁、l₂、y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．
（1）求a、b、c的值；
（2）求阴影部分面积S关于t的函数S（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由图象可知函数图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16，分别代入即可解得a、b、c的值
（2）先求出直线l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）与抛物线f（x）=-x²+8x的交点横坐标（用t表示），再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可．

解答 解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a•{8}^{2}+8b+c=0}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=16}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=8，c=0
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{t}^{2}+8t}\\{y=-{x}^{2}+8x}\end{array}\right.$得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，
∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t）
由定积分的几何意义知：
S（t）=${∫}_{0}^{t}$[（-t²+8t）-（-x²+8x）]dx+${∫}_{t}^{2}$[（-x²+8x）-（-t²+8t）]dx
=[（-t²+8t）x-（-$\frac{1}{3}$x³+4x²）]|${\;}_{0}^{t}$+=[（-$\frac{1}{3}$x³+4x²）-（-t²+8t）x]|${\;}_{t}^{2}$ 
=$\frac{4}{3}{t}^{3}+10{t}^{2}-16t+\frac{40}{3}$．

点评 本题综合考查了二次函数的图象和性质、定积分的几何意义、导数与函数零点等多个知识点，解题时要综合掌握各种知识．