Question

8．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a、b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂作一条直线与两条渐近线分别交于P、Q两点，线段QF₂的垂直平分线恰好为双曲线C的一条渐近线，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求得焦点到渐近线的距离为b，运用垂直平分线的性质和勾股定理可得|OP|=a，结合离心率公式和锐角的余弦函数的定义计算即可得到．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a、b＞0）的渐近线方程分别是l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
F₂（c，0），F₂到渐近线l1的距离为$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
设|PF₂|=b，直线PF₂交l₂于Q，
由题意可得l₁垂直平分线段QF₂，
即有|OP|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由于∠F₁OQ=∠QOP=∠POF₂=60°，
则有cos∠POF₂=$\frac{|OP|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，运用垂直平分线的性质和锐角的余弦函数的定义和离心率公式是解题的关键．