Question

3．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥-2}\\{3x-2y≤3}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，若x²+4y²≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 利用换元法将不等式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：设a=x，b=2y，则不等式x²+4y²≥m等价为a²+b²≥m，
则约束条件等价为$\left\{\begin{array}{l}{a-b≥-2}\\{3a-b≤3}\\{2a+b≥2}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=a²+b²，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，
由图象知O到直线2a+b=2的距离最小，
此时原点到直线的距离d=$\frac{|2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则z=d²=$\frac{4}{5}$，
即m≤$\frac{4}{5}$，即实数m的最大值为$\frac{4}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解题的关键是会利用换元法进行求解．