Question

5．已知f（x）=$\frac{2x-m}{{x}^{2}+1}$定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=$\frac{1}{x}$称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最大值记作maxf（x）、最小值记作minf（x），令g（m）=maxf（x）-minf（x），若g（m）≤λ$\sqrt{{m}^{2}+1}$恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．

解答 解：（1）当m=0时，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，此时f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数，
当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）证明f（x）是增函数
f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2{x}_{2}-m}{{{x}_{2}}^{2}+1}-\frac{2{x}_{1}-m}{{{x}_{1}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）[m（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}+2]}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵α＜x₁＜x₂＜β，
∴${{x}_{1}}^{2}-m{x}_{1}-1＜0$，${{x}_{2}}^{2}-m{x}_{2}-1＜0$，
则${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-$m（x₁+x₂）-2＜0，
2x₁x₂＜x₁²+x₂²，∴2x₁x₂＜x₁²+x₂²＜m（x₁+x₂）+2，
即2x₁x₂-m（x₁+x₂）-2＜0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在（α，β）是递增的，
则$\sqrt{{m}^{2}+4}≤λ\sqrt{{m}^{2}+1}$恒成立，
∴λ≥$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4}{{m}^{2}+1}}=\sqrt{1+\frac{3}{{m}^{2}+1}}$，
∵$\sqrt{1+\frac{3}{{m}^{2}+1}}≤\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$，
∴λ≥2．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．