Question

2．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+$\frac{20}{p}$）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，y=$（4+\frac{20}{p}）p-x-（10+2p）$，
将p=3-$\frac{2}{x+1}$代入化简得：$y=16-\frac{4}{x+1}-x$（0≤x≤a）；
（Ⅱ）$y′=-1-\frac{-4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）^{2}+4}{（x+1）^{2}}$=$-\frac{{x}^{2}+2x-3}{（x+1）^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（1，a）上单调递减，
从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，因为函数$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（0，1）上单调递增，
所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为$16-\frac{4}{1+1}-1$=13 万元；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为$16-\frac{4}{a+1}-a$ 万元．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．