Question

2．已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过F的直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），O为坐标原点，若△OAB的面积为p²，则y₁²+y₂²的值为（　　）

• A． 10p²
• B． 12p²
• C． 14p²
• D． 16p²

Answer 1

分析 对直线的斜率进行分类讨论：①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=$\frac{p}{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得到交点坐标，从而得到△OAB的面积，不合题意舍去；
②当直线斜率存在时，直线方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得 y²-$\frac{2p}{k}y$y-p²=0，由△OAB的面积为p²求出k，进一步求得y₁²+y₂²的值．

解答 解：①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=$\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{p}{2}}\\{{y}_{1}=-p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{p}{2}}\\{{y}_{2}=p}\end{array}\right.$，
此时${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×2P×\frac{p}{2}=\frac{{p}^{2}}{2}$，不合题意；
②当直线斜率存在时，直线方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²-$\frac{2p}{k}y$-p²=0．
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2p}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-{p}^{2}$，
由${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}•\frac{p}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{p}{4}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{p}{4}\sqrt{\frac{4{p}^{2}}{{k}^{2}}+4{p}^{2}}={p}^{2}$，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{3}$．
∴y₁²+y₂²=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}=12{p}^{2}+2{p}^{2}=14{p}^{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质、直线和抛物线的位置关系的综合运用，注意抛物线性质的灵活运用，是中档题．