Question

13．用数学归纳法证明：1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）（n∈N^*）

Answer 1

分析 根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可．

解答 证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=$\frac{1}{6}$k（k+1）（k+2），
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=$\frac{1}{6}$k（k+1）（k+2）+$\frac{1}{2}$（k+1）（k+1+1）
=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（k+3）=$\frac{1}{6}$（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]．即当n=k+1时，等式也成立．
∴由（1）（2）可知当n∈N^*时等式都成立．

点评 本题考查数学归纳法的证明，需要牢记数学归纳法证明的步骤，特别要注意从k到k+1等式的形式的变化、区别．