Question

8．函数y=$\frac{2sinx+1}{cosx+1}$的值域为[-$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 原式变形可得ycosx-2sinx=1-y，由三角函数的有界性可得y的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：∵y=$\frac{2sinx+1}{cosx+1}$，∴y（cosx+1）=2sinx+1，
变形可得ycosx-2sinx=1-y，
即$\sqrt{{y}^{2}{+（-2）}^{2}}$cos（x+θ）=1-y，其中tanθ=$\frac{2}{y}$，
∵|$\sqrt{{y}^{2}{+（-2）}^{2}}$cos（x+θ）|≤$\sqrt{{y}^{2}{+（-2）}^{2}}$，
∴|1-y|≤$\sqrt{{y}^{2}{+（-2）}^{2}}$，
即（1-y）²≤y²+4
解得：y≥-$\frac{3}{2}$
故答案为：[-$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及不等式的解法，属中档题．