Question

18．平面直角坐标系中，已知曲线C₁：x²+y²=1，将曲线C₁上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{2}$倍和$\sqrt{3}$倍后，得到曲线C₂
（1）试写出曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求点P，使得点P到直线l：x+y-4$\sqrt{5}$=0的距离最大，并求出距离最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），由$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$ 得曲线C₂的参数方程；
（2）由（1）得点P（$\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$），根据点到直线的距离公式即得结论．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），
由$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
所以曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数）；
（2）由（1）得点P（$\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$），
点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{3}sinθ-4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ-φ）-4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，
$tanφ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，${d}_{max}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$，
此时点P的坐标为（$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$-\frac{3\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、三角变换、点到直线的距离公式等内容，属于中档题．