Question

8．如图，已知椭圆C：6x²+10y²=15m²（m＞0），经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）是否存在k，使对任意m＞0，总有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若m∈[1，5]，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$（m³+4m），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将原椭圆方程整理成标准方程即可求出a，c，从而求得离心率$\frac{c}{a}$；
（Ⅱ）写出直线l的方程：y=k（x-m），联立椭圆方程消去y即得到（10k²+6）x²-20mk²x+10m²k²-15m²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理即可求出x₁+x₂，y₁+y₂，假设存在k使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$，求出N点的坐标，带入椭圆方程建立关于k的方程，解出k即可；
（Ⅲ）根据韦达定理求出x₁x₂，y₁y₂，而根据条件$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$得到关于m，k的等式并可解出${k}^{2}=-\frac{3}{5}+\frac{78}{25（m+\frac{4}{m}）+5}$，根据导数可判断函数m$+\frac{4}{m}$在[1，5]上的单调性及最值情况，从而得出k²的范围0$＜{k}^{2}≤\frac{1}{7}$，解该不等式即得实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C的方程变成：
$\frac{{x}^{2}}{\frac{5{m}^{2}}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3{m}^{2}}{2}}=1$；
∴${a}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{2}，{c}^{2}$=m²；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
∴椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（Ⅱ）F（m，0），直线l的方程为y=k（x-m），带入椭圆方程并整理得：
（10k²+6）x²-20mk²x+10m²k²-15m²=0（1）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}$，$-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}$；
若存在k使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$，则N（$\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}，-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}$）；
点N在椭圆C上，∴$6（\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}）^{2}+10（-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}）^{2}=15{m}^{2}$；
整理得：5k⁴-2k²-3=0；
解得${k}^{2}=1，或-\frac{3}{5}$（舍去）；
∴k=±1；
即存在k=±1使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$；
（Ⅲ）由方程（1）知${x}_{1}{x}_{2}=\frac{10{m}^{2}{k}^{2}-15{m}^{2}}{10{k}^{2}+6}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9{m}^{2}{k}^{2}}{10{k}^{2}+6}$；
∴∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$；
∴$\frac{{m}^{2}{k}^{2}-15{m}^{2}}{10{k}^{2}+6}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$；
求出k²=$\frac{-3{m}^{2}+15m-12}{5{m}^{2}+m+20}=-\frac{3}{5}+\frac{78}{25（m+\frac{4}{m}）+5}$；
设f（m）=$m+\frac{4}{m}$，$f′（m）=\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}$；
∴m∈[1，2）时，f′（m）＜0，m∈（2，5]时，f′（m）＞0；
∴f（m）在[1，2）上单调递减，在（2，5]上单调递增，m=2时f（m）取最小值4，f（1）=5，f（5）=$\frac{29}{5}$；
∴f（m）的最大值为$\frac{29}{5}$；
∴k²的最大值为$-\frac{3}{5}+\frac{78}{105}=\frac{1}{7}$，最小值为$-\frac{2}{25}$，所以k²＞0；
即0$＜{k}^{2}≤\frac{1}{7}$；
∴k的取值范围为$[-\frac{\sqrt{7}}{7}，0）∪（0，\frac{\sqrt{7}}{7}]$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率的概念及求法，椭圆的焦点，直线的点斜式方程，韦达定理，向量加法的平行四边形法则，向量加法、数量积的坐标运算，以及根据导数符号判断函数的单调性，根据单调性求函数最值．