Question

10．已知x、y∈R⁺，且x+y=4，求$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 将已知变形为积为定值的形式，利用基本不等式求最小值．

解答 解：因为x、y∈R⁺，且x+y=4，
所以$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$=$\frac{x+y}{4x}+\frac{3（x+y）}{4y}$=$\frac{1}{4}+\frac{y}{4x}+\frac{3x}{4y}+\frac{3}{4}$=1+$\frac{1}{4}（\frac{y}{x}+\frac{3x}{y}）$≥1+$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{3x}{y}}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{3x}{y}$即y=$\sqrt{3}$x=6-2$\sqrt{3}$，x=2（$\sqrt{3}$-1），时等号成立；
所以x、y∈R⁺，且x+y=4，$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$的最小值为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的运用；关键是利用已知将所求等价化为积为定值的形式；利用一定二正三相等求最值．