Question

15．已知四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直．

Answer 1

分析 证明AC平分∠DAB，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=0，即可证明结论．

解答 证明：由题意，△ADC≌△ABC，∴AC平分∠DAB，
∴$\overrightarrow{AC}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），
∵$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=k（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AD}$²）=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{DB}$．
∴四边形ABCD的两条对角线互相垂直．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查学生的计算能力，比较基础．