Question

20．在△ABC中，已知A=30°，b=18，分别根据下列条件求B．
（1）①a=6；②a=9；③a=13；④a=18；⑤a=22；
（2）根据上述计算结果，讨论使B有一解，两解，无解时a的取值情况．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理求得sinB的值，再结合大边对大角，判断角B的个数．
（2）结合（1）的结果，讨论使B有一解，两解，无解时a的取值情况．

解答 解：（1）ABC中，∵已知A=30°，b=18，
若①a=6，则由正弦定理可得$\frac{6}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{3}{2}$（舍去），故B无解．
若②a=9，则由正弦定理可得$\frac{9}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=1，∴B=90°，角B有唯一解．
若③a=13则由正弦定理可得$\frac{13}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{3}{4}$，再根据b＞a可得 B=arcsin$\frac{3}{4}$或B=π-arcsin$\frac{3}{4}$，有两个解．
若④a=18，再根据a=b可得A=B=30°，故B有唯一解．
⑤a=22则由正弦定理可得$\frac{22}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{9}{22}$，再根据b＜a可得B=arcsin$\frac{9}{22}$，角B有唯一解．
（2）由①可得，若sinB=1，即a=9； 或sinB∈（0，1）且18≤a时，角B有唯一值；
若sinB∈（0，1）且a＜18时，角B有两个解；
若sinB＞1时，即a＜9时，B无解．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，三角形解的个数的判断，属于中档题．