Question

11．若关于x的不等式不等式|x²-5|＜4成立时，-x²+4x+a²-4＞0成立，则a的取值范围是（-∞，-5）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 先求出|x²-5|＜4时x的取值范围，把a²-4+4x-x²＞0变形为a²＞x²-4x+4=（x-2）²；求出f（x）=（x-2）²的最大值f（x）_max，从而求出a的取值范围．

解答 解：∵|x²-5|＜4，
∴-4＜x²-5＜4，
即1＜x²＜9，
解得-3＜x＜-1，或1＜x＜3；
又∵-x²+4x+a²-4＞0，即a²-4+4x-x²＞0，
∴a²＞x²-4x+4=（x-2）²；
设f（x）=（x-2）²，定义域为x∈（-3，-1）∪（1，3），
当x＜2时，f（x）是减函数，x≥2时，f（x）是增函数，
∴f（x）_max=f（-3），
即a²＞f（-3）；
解得a＞5，或a＜-5，
故答案为：（-∞，-5）∪（5，+∞）．

点评 本题考查了函数性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化不等式a²-4+4x-x²＞0，是中档题目．