Question

16．（1）试计算下列各式，（只需写出结果，不需要计算过程）
sin²45°+sin²105°+sin²165°=$\frac{3}{2}$
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²15°+sin²75°+sin²135°$\frac{3}{2}$
（2）通过观察上述各式的计算规律，请写出一般性的命题，并给出的证明
（参考公式：sin2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

Answer 1

分析 分析已知条件中，我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答 解：（1）由已知，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=$\frac{3}{2}$，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，
sin²15°+sin²75°+sin²135°=$\frac{3}{2}$，
（2）归纳推理的一般性的命题为：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=$\frac{3}{2}$，
证明如下：
左边=$\frac{1}{2}$[1-cos（2α-120）]+$\frac{1}{2}$（1-cos2α）+$\frac{1}{2}$[1-cos（2α+120）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$=右边．
∴结论正确

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．