Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=$±\sqrt{2}$，即得结论．

解答 （Ⅰ）解：由短轴长为$2\sqrt{2}$，得b=$\sqrt{2}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a²=4，b²=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（$±\sqrt{2}$，0）．         
证明如下：设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，即${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=4$，
∵A（-2，0），∴直线PA方程为：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，∴M（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
直线QA方程为：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x+2）$，∴N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），
以MN为直径的圆为$（x-0）（x-0）+（y-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）（y-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）=0$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}y+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}=0$，
∵${{x}_{0}}^{2}-4=-2{{y}_{0}}^{2}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}+\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}y-2=0$，
令y=0，则x²-2=0，解得x=$±\sqrt{2}$．
∴以MN为直径的圆过定点F（$±\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．