Question

12．若过点P（-3，3）且倾斜角为$\frac{5}{6}$π的直线交曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$于A、B两点，则|AP|•|PB|=$\frac{324}{31}$．

Answer 1

分析 根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，写出直线的参数方程．设点A，B的坐标分别为A（-3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁），B（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁）．把直线l的参数方程代入圆的椭圆的方程4x²+y²=16整理得到9x²+4y²=36整理得到31t²+（108$\sqrt{3}$+48）t+324=0，由根与系数的关系及t的几何意义可知|PA||PB|=|t₁||t₂|，从而求得结果．

解答 解：直线l经过点P（-3，3），倾斜角为$\frac{5}{6}$π，故直线的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数）．
因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₁，则点A，B的坐标分别为A（-3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁），B（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁）．
把直线l的参数方程代入椭圆的方程9x²+4y²=36整理得到31t²+（108$\sqrt{3}$+48）t+324=0①，
因为t₁和t₂是方程①的解，从而t₁t₂=$\frac{324}{31}$，
由t的几何意义可知|PA||PB|=|t₁||t₂|=$\frac{324}{31}$．
故答案为：$\frac{324}{31}$．

点评 本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．