Question

2．已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．

Answer 1

分析 如图所示，点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，利用两个向量的数量积的定义，求出cos∠FBD=cos∠CAB的值，可得sin∠CAB的值，再根据所求面积为BD•BF•sin∠CAB，计算求得结果．

解答 解：如图：延长AB到D，使BD=AB，作BF平行且等于AC，
则点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，
又BD=AB=$\sqrt{5}$，BF=AC=$\sqrt{5}$，cos∠FBD=cos∠CAB
=$\frac{{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AC}}||{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{（{1，2}）•（{2，1}）}}{{{{（{\sqrt{5}}）}^2}}}=\frac{4}{5}$，
所以$sin∠FBD=\sqrt{1-{{cos}^2}∠FBD}=\frac{3}{5}$，
故所以所求面积为：$|{BD}||{BF}|sin∠FBD={（{\sqrt{5}}）^2}•\frac{3}{5}=3$，
故答案为：3．

点评 本题主要考查平面向量基本定理，数量积表示两个两个向量的夹角，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．