Question

7．已知函数f（x）=-$\frac{π}{2x}$，g（x）=xcosx-sinx，当x∈[-3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．

解答 解：由题意知，
函数f（x）=-$\frac{π}{2x}$在[-3π，3π]是奇函数且是反比例函数，
g（x）=xcosx-sinx在[-3π，3π]是奇函数；
g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx；
故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，
且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；
故作函数f（x）与g（x）在[-3π，3π]上的图象如下，

结合图象可知，有6个交点；
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．