Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），右焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，若△OMF面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c为半焦距），则该双曲线离心率可能为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），与bx-ay=0联立可得M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），利用△OMF面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c为半焦距），可得ab=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，即可求出双曲线离心率．

解答 解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c）
与bx-ay=0联立可得M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）
因为△OMF面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c为半焦距），
所以$\frac{1}{2}×c×\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$，
所以ab=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
所以3e⁴-16e²+16=0，
所以e=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线离心率，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，确定M的坐标是关键．