Question

2．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC=6．

Answer 1

分析 由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．

解答 解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8
由切割线定理得PA²=PD•PB=16
∴PA=4
又∵PE=PA，∴PE=4
又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=4
又由DE=PE-PD=2
BE=BD-DE=4
由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2
∴AC=AE+CE=6
故答案为：6．

点评 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，根据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．