Question

12．已知m＞n＞0，a＞0且a≠1，能否比较出A=a^m+a^-m与B=aⁿ+a^-n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 作差，对a分类讨论，利用指数函数的单调性即可得出．

解答 解：A-B=a^m+a^-m-（aⁿ+a^-n）=${a}^{m}+\frac{1}{{a}^{m}}$-${a}^{n}-\frac{1}{{a}^{n}}$=$\frac{（{a}^{m}-{a}^{n}）（{a}^{n}{a}^{m}-1）}{{a}^{n}{a}^{m}}$，
当a＞1时，∵m＞n＞0，∴a^m＞aⁿ，a^m＞aⁿ＞1，∴A-B＞0，∴A＞B．
当0＜a＜1时，∵m＞n＞0，∴a^m＜aⁿ，0＜aⁿ，a^m＜1，∴aⁿ•a^m＜1，∴A＞B．
综上可得：A＞B．

点评 本题考查了“作差法”、指数函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．