Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件$\frac{|FA|}{|AP|}=e$．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S₁，S₂，求证：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|PM|}{|PN|}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4，利用$\frac{|FA|}{|AP|}=e$求m的值；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
所以a=4，$b=2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=2$，…（2分）
则$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4．…（3分）
因为$\frac{|FA|}{|AP|}=\frac{2}{m-4}=\frac{1}{2}$，
所以m=8．…（5分）
（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S₁=S₂，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$
得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-48=0，…（7分）
可知△＞0恒成立，且 ${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16{k^2}-48}}{{4{k^2}+3}}$．…（8分）
因为 ${k_{PM}}+{k_{PN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-8}}+\frac{y_2}{{{x_2}-8}}=\frac{{k（{x_1}-2）}}{{{x_1}-8}}+\frac{{k（{x_2}-2）}}{{{x_2}-8}}$…（10分）
=$\frac{{k（{x_1}-2）（{x_2}-8）+k（{x_2}-2）（{x_1}-8）}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-10k（{x_1}+{x_2}）+32k}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}$=$\frac{{2k•\frac{{16{k^2}-48}}{{4{k^2}+3}}-10k•\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+32k}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}=0$，
所以∠MPF=∠NPF．…（12分）
因为△PMF和△PNF的面积分别为${S_1}=\frac{1}{2}|PF|•|PM|•sin∠MPF$，
${S_2}=\frac{1}{2}|PF|•|PN|•sin∠NPF$，…（13分）
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|PM|}{|PN|}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．