Question

11．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠CAB=60°点P在线段AB上，满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$，则实数的λ值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$，
则（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$）•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
即有（$\overrightarrow{CA}$+$λ\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-$λ\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$-λ$\overrightarrow{AB}$），
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$+$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ²${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
由AB=2，AC=3，∠CAB=60°，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=3×2×（-$\frac{1}{2}$）=-3，
即有-3+4λ=-4λ+4λ²，
解得λ=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的三角形法则和数量积的定义及性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．