Question

16．如果一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0中a、b分别是投掷各面上标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具所得的数字．
（1）求x=0是该方程的解的概率；
（2）求该方程有实数解的概率；
（3）求该方程有两个正实数解的概率．

Answer 1

分析 这是一个古典概型问题，总件数由分步计数原理知是36，再求出满足条件的事件数，（3）在整理时要借助于根与系数之间的关系，根的判别式，要进行讨论得到结果．

解答 解：（1）掷骰子所产生的a，b的总的可能组合有：6×6=36，x=0是该方程的解，则b=3，
∴x=0是该方程的解的概率为$\frac{6×1}{36}$=$\frac{1}{6}$；
（2）方程有实数解，则判别式=4（a-3）²-4（-b²+9）≥0，
∴（a-3）²+b²≥9，∴b=1，a=6，b=2，a=6，b=3，a=1，2，3，4，5，6，共，8种情况，
∴该方程有实数解的概率为$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$；
（3）方程的两根要大于0，由韦达定理得 2（a-3）＞0，-b²+9＞0 解得a＞3，b＜3
若b=2，9-b²=5，要使方程有两个正根，判别式=4（a-3）²-4×5＞0 （a-3）²＞5，解得，a=6；
若b=1，9-b²=8，判别式=4（a-3）²-4×8＞0，（a-3）²＞8，解得，a=6
故a，b只有两种情况满足要求：a=6，b=1，2
而投掷骰子所产生的a，b的总的可能组合有：6×6=36 所以有两个正根的概率是：$\frac{2}{36}$=$\frac{1}{18}$，

点评 解决古典概型问题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数