Question

11．求函数f（t）=$\sqrt{1-t}$+$\sqrt{t}$在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由题意，0≤t≤1，设t=sin²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，则y=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），利用三角函数的图象即可得出结论．

解答 解：由题意，0≤t≤1，设t=sin²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，则
y=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴函数f（t）=$\sqrt{1-t}$+$\sqrt{t}$在[-1，1]上的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为1．

点评 本题考查函数的最值，考查学生分析转化问题的能力，正确换元是关键．