Question

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于E，AE⊥CD，垂足为点E．
（Ⅰ）证明：DA平分∠BDE；
（Ⅱ）如果AB=4，AE=2，求对角线CA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．
（Ⅱ）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE²=DE•CE，即可解出CD，又AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠ADC=120°，由余弦定理可得AC．

解答 （Ⅰ）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE．
∴DA平分∠BDE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得：△ADE∽△BDA，∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
∵AB=4，AE=2，∴BD=2AD．
∴∠ABD=30°．
∴∠DAE=30°．
∴DE=AEtan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由切割线定理可得：AE²=DE•CE，
∴解得CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠ADC=120°，
∴由余弦定理可得AC²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²-2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos120°=16，
∴AC=4．

点评 本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．