Question

16．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-$\frac{2}{3}{a_n}$（n∈N₊）．
（1）判断数列{a_n}是什么数列？
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）在数列递推式中取n=1求得首项，当n≥2时，由${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（1-\frac{2}{3}{a_n}）-（1-\frac{2}{3}{a_{n-1}}）$，得到$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{5}$，即数列{a_n}是以$\frac{3}{5}$为首项，$\frac{2}{5}$为公比的等比数列；
（2）由（1）求出数列列{a_n}的通项公式，代入na_n，然后利用错位相减法求数列的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，${a_1}={S_1}=1-\frac{2}{3}{a_1}$，解得${a_1}=\frac{3}{5}$，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（1-\frac{2}{3}{a_n}）-（1-\frac{2}{3}{a_{n-1}}）$，
得5a_n=2a_n-1，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{5}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{3}{5}$为首项，$\frac{2}{5}$为公比的等比数列；
（2）由（1）知：${a}_{n}=\frac{3}{5}•（\frac{2}{5}）^{n-1}$，
∴$n{a}_{n}=\frac{3}{5}n•（\frac{2}{5}）^{n-1}$，
则${T_n}=\frac{3}{5}×1×{（{\frac{2}{5}}）^0}+\frac{3}{5}×2×{（{\frac{2}{5}}）^1}+…+\frac{3}{5}×（{n-1}）×{（{\frac{2}{5}}）^{n-2}}+\frac{3}{5}×n×{（{\frac{2}{5}}）^{n-1}}$，
$\frac{2}{5}{T}_{n}=\frac{3}{5}×1×（\frac{2}{5}）^{1}+\frac{3}{5}×2×（\frac{2}{5}）^{2}+…+\frac{3}{5}×（n-1）×（\frac{2}{5}）^{n-1}$$+\frac{3}{5}×n×（\frac{2}{5}）^{n}$，?
两式相减得：$\frac{3}{5}{T}_{n}=\frac{3}{5}×（\frac{2}{5}）^{0}+\frac{3}{5}×（\frac{2}{5}）^{1}+…+\frac{3}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-1}-\frac{3}{5}×n×（\frac{2}{5}）^{n}$，
则${T}_{n}=（\frac{2}{5}）^{0}+（\frac{2}{5}）^{1}+…+（\frac{2}{5}）^{n-1}-n（\frac{2}{5}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{2}{5}）^{n}}{1-\frac{2}{5}}-n（\frac{2}{5}）^{n}=\frac{5}{3}-（\frac{5}{3}+n）（\frac{2}{5}）^{n}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．