Question

11．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且2B=A+C，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 运用三角形的内角和定理，结合条件可得B，再由余弦定理可得c²+a²=ac+b²，将要证等式整理变形，即可得证．

解答 证明：由2B=A+C，A+B+C=π，
可得B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得b²=c²+a²-2accosB，
即有c²+a²=ac+b²，
则$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=2+$\frac{c}{a+b}$+$\frac{a}{b+c}$
=2+$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+ac+{b}^{2}+bc}$=2+$\frac{bc+ac+{b}^{2}+ab}{bc+ac+{b}^{2}+ab}$
=2+1=3，
即有$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，
则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$成立．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用和解三角形问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．