Question

6．已知对任意实数y＞x＞0，都存在一个以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx为三边长的三角形，则实数λ的范围为$[1，2+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由y＞x＞0，可得$x+y＞\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．由于对任意实数y＞x＞0，都存在一个以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx为三边长的三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{y＞x＞0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+λx＞x+y}\\{x+y+\sqrt{{x}^{2}{+}^{2}}＞λx}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵y＞x＞0，
∴$（x+y）^{2}-（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}）^{2}$=2xy＞0，
∴$x+y＞\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
∵对任意实数y＞x＞0，都存在一个以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx为三边长的三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y＞x＞0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+λx＞x+y}\\{x+y+\sqrt{{x}^{2}{+}^{2}}＞λx}\end{array}\right.$，
化为$1+\frac{y}{x}-\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$＜λ＜$1+\frac{y}{x}$+$\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令$\frac{y}{x}=t＞1$，化为$1+t-\sqrt{1+{t}^{2}}$＜λ＜1+t+$\sqrt{1+{t}^{2}}$．
解得1≤$λ≤2+\sqrt{2}$．
故答案为：$[1，2+\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了组成三角形三边的三个实数之间的大小关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．