Question

15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C=（3a-c）cos B．若$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4，则ac的值为12．

Answer 1

分析 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．由$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4可得ac=12．

解答 解：在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
在△ABC中，sinA≠0，故cosB=$\frac{1}{3}$．
由$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=4，可得a•c•cosB=4，即ac=12．
故答案为：12．

点评 本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、向量的数量积的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．