Question

20．求下列函数的最值
（1）f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]
（2）f（x）=x³-3x²+6x-3，x∈[-1，1]．

Answer 1

分析 （1）利用换元法（令x²=μ）及配方法求函数的最值；
（2）根据导数判断出函数为单调增函数，继而求出最值．

解答 解：（1）令x²=μ，
∵x∈[-3，2]，
∴μ∈[0，9]；
f（x）=-x⁴+2x²+3=-（μ-1）²+4；
∴-60≤-（μ-1）²+4≤4；
故函数的最大值为4，函数的最小值为-60；
（2）∵f′（x）=3x²-6x+6=3[（x-1）²+1]＞0
∴函数f（x）=x³-3x²+6x-3，在[-1，1]单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-3-6-3=-13，f（x）_max=f（1）=1-3+6-3=1．

点评 本题考查了函数的最值的求法，考查了用导数求闭区间上函数的最值的问题，属于中档题．