Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 根据S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．求出a₁=1，递推得出S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1①，S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n②化简得出$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$，运用$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，可判断求解a_n=n．证明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．
∴a₁=$\frac{1}{2}$×a₂=1，
S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1，①
S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n，②
相减得出：a_n=$\frac{n}{2}$a_n+1-$\frac{n-1}{2}$a_n，$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，
∴$\frac{n+1}{2}$a_n=$\frac{n}{2}$a_n+1，
即$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$，
数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，公差为0，首项为1，即常数列．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即a_n=n．
∵a_n+1-a_n=n+1-n=1，为常数．
故数列{a_n}是等差数列．

点评 本题考查了数列的递推关系式，等差数列的定义的运用，构造思想，属于中档题，但是化简难度不大．