Question

9．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AD•AB=AE•AC
（1）求证：B，C，D，E四点共圆
（2）若三角形ABC是边长为3的正三角形，且AD=1，求B，C，D，E四点所在的圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．
（2）由题意，BCED是等腰梯形，且高为$\sqrt{3}$．设C，B，D，E四点共圆的半径为r，则$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{4}}+\sqrt{{r}^{2}-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{3}$，即可得到半径的大小．

解答 （1）证明：∵AD•AB=AE•AC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（2）解：由题意，BCED是等腰梯形，且高为$\sqrt{3}$．
设C，B，D，E四点共圆的半径为r，
则$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{4}}+\sqrt{{r}^{2}-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴B，C，D，E四点所在的圆的半径为$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．